PDF Giáo trình toán cao cấp A1

Giáo trình toán cao cấp A1

 

MỤC LỤC
Lời nói đầu ................................................................................................ 3
Mục lục ..................................................................................................... 5
Chương 1: TÍCH PHÂN BỘI ................................................................ 9
1.1 TÍCH PHÂN KÉP ........................................................................... 9
1.1.1 Định nghĩa ..................................................................................... 9
1.1.1.1 Bài toán tính thể tích hình trụ cong .................................... 9
1.1.1.2 Định nghĩa tích phân kép ................................................. 10
1.1.1.3 Định lý tồn tại ................................................................. 11
1.1.2 Tính chất ...................................................................................... 11
1.1.3 Cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ Decard .......................... 12
1.1.3.1 Định lý 1.1 ........................................................................ 12
1.1.3.2 Định lý 1.2 ........................................................................ 13
1.1.3.3 Định lý 1.3 ....................................................................... 13
1.1.4 Phương pháp đổi biến trong tích phân kép .................................. 22
1.1.4.1 Công thức đổi biến tổng quát ........................................... 22
1.1.4.2 Đổi biến sang hệ tọa độ cực ............................................ 24
1.1.5 Ứng dụng của tích phân kép ........................................................ 34
1.1.5.1 Tính diện tích hình phẳng ................................................ 34
1.1.5.2 Tính diện tích mặt cong .................................................. 36
1.1.5.3 Tính thể tích hình trụ cong ............................................... 37
1.2 TÍCH PHÂN BỘI BA ................................................................... 39
1.2.1 Định nghĩa ................................................................................... 39
1.2.1.1 Bài toán tính khối lượng vật thể ....................................... 39
1.2.1.2 Định nghĩa tích phân bội ba ............................................. 40
1.2.1.3 Định lý tồn tại .................................................................. 41
1.2.2 Tính chất của tích phân bội ba ..................................................... 41
1.2.3 Cách tính tích phân bội ba trong tọa độ Decard .......................... 43
1.2.4 Phương pháp đổi biến trong tích phân bội ba .............................. 48
1.2.4.1 Công thức đổi biến tổng quát ........................................... 48
1.2.4.2 Đổi biến sang tọa độ trụ ................................................... 50
6
1.2.4.3 Đổi biến sang tọa độ cầu .................................................. 56
1.2.5 Ứng dụng của tích phân bội ba .................................................... 63
1.3 BÀI TẬP CHƯƠNG 1 .................................................................. 68
Chương 2: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG ....................................................... 73
2.1 TÍCH PHÂN ĐƯỜ NG LOAỊ MÔṬ ........................................... 73
2.1.1 Điṇ h nghıã ................................................................................... 73
2.1.2 Điṇ h lý tồn taị .............................................................................. 73
2.1.3 Ý nghĩa ......................................................................................... 73
2.1.4 Tính chất ...................................................................................... 74
2.1.5 Cách tı́nh ...................................................................................... 74
2.1.6 Đường cong trong không gian ..................................................... 79
2.2 TÍCH PHÂN ĐƯỜ NG LOAỊ HAI ............................................. 80
2.2.1 Điṇ h nghıã ................................................................................... 80
2.2.2 Điṇ h lý tồn tại .............................................................................. 81
2.2.3 Ý nghĩa ......................................................................................... 81
2.2.4 Tı́nh chất ...................................................................................... 82
2.2.5 Cách tı́nh ...................................................................................... 82
2.2.6 Tı́ch phân đườ ng loaị hai trong không gian ................................. 86
2.2.7 Liên hê ̣giữa hai loaị tı́ch phân đườ ng ......................................... 87
2.2.8 Công thức Green .......................................................................... 88
2.2.9 Điều kiêṇ để tı́ch phân đườ ng không phu ̣ thuôc̣ đườ ng
lấy tı́ch phân ................................................................................. 90
2.3. BÀI TẬP CHƯƠNG 2 .................................................................... 95
Chương 3: TÍCH PHÂN MẶT ............................................................. 99
3.1. TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 1 ........................................................... 99
3.1.1. Định nghĩa ............................................................................... 99
3.1.2. Tính chất .................................................................................. 99
3.1.3. Cách tính ............................................................................... 100
3.2 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 2 ......................................................... 107
3.2.1 Mặt định hướng .......................................................................... 107
3.2.2 Định nghĩa ................................................................................. 109
3.2.3 Cách tính .................................................................................... 109
3.2.4 Công thức Gauss – Ostrogratski ................................................ 114
7
3.2.5 Công thức Stokes ....................................................................... 118
3.3 TRƯỜNG VECTOR .................................................................... 120
3.3.1 Trường vô hướng ..................................................................... 120
3.3.1.1 Định nghĩa ...................................................................... 120
3.3.1.2 Đạo hàm có hướng ........................................................ 120
3.3.3.3 Vector gradient ............................................................... 122
3.3.2 Định nghĩa trường vector ........................................................... 123
3.3.3 Thông lượng và độ phân kỳ ....................................................... 124
3.3.3.1 Thông lượng ................................................................... 124
3.3.3.2 Độ phân kỳ ..................................................................... 125
3.3.3.3 Ý nghĩa và mối quan hệ giữa thông lượng và
độ phân kỳ ...................................................................... 126
3.3.4 Hoàn lưu và vector xoáy ............................................................ 126
3.3.4.1 Hoàn lưu ......................................................................... 126
3.3.4.2 Vector xoáy .................................................................... 128
3.3.4.3 Ý nghĩa và mối quan hệ của hoàn lưu và vector
xoáy ................................................................................ 128
3.3.5 Toán tử Hamilton – Toán tử Laplace ......................................... 129
3.3.6 Một số trường vector thông dụng .............................................. 130
3.3.6.1 Trường thế ...................................................................... 130
3.3.6.2 Trường ống ..................................................................... 131
3.3.6.3 Trường điều hòa ............................................................. 131
3.4. BÀI TẬP CHƯƠNG 3 .................................................................. 132
Chương 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .......................................... 137
4.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ...................................................... 137
4.1.1 Bài toán hình học ....................................................................... 137
4.1.2 Phương trình dao động của con lắc ............................................ 138
4.1.3 Khái niệm phương trình vi phân ................................................ 139
4.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 ........................................... 140
4.2.1 Khái niệm cơ bản ....................................................................... 140
4.2.1.1 Định nghĩa ...................................................................... 140
4.2.1.2 Bài toán Cauchy ............................................................. 140
4.2.1.3 Nghiệm tổng quát, tích phân tổng quát .......................... 141
4.2.1.4 Nghiệm riêng, nghiệm kỳ dị ........................................... 141
8
4.2.2 Một số phương trình vi phân cấp một ........................................ 142
4.2.2.1 Phương trình tách biến (Phương trình có biến số
phân ly) .................................................................................... 142
4.2.2.2 Phương trình vi phân đẳng cấp cấp một ......................... 147
4.2.2.3 Phương trình tuyến tính cấp một .................................... 151
4.2.2.4 Phương trình Bernoulli ................................................... 155
4.2.2.5 Phương trình Đacbu ....................................................... 157
4.2.2.6 Phương trình Ricati ........................................................ 159
4.2.2.7 Phương trình vi phần toàn phần ..................................... 161
4.3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 .......................................... 166
4.3.1 Khái niệm cơ bản ....................................................................... 166
4.3.1.1 Định nghĩa ....................................................................... 166
4.3.1.2 Bài toán Cauchy. Định lý sự tồn tại và duy nhất
nghiệm............................................................................ 168
4.3.2 Phương trình vi phân cấp hai có thể giảm cấp được .................. 169
4.3.2.1 Phương trình không chứa ................................... 169
4.3.2.2 Phương trình không chứa hàm cần tìm y ...................... 170
4.3.2.3 Phương trình không chứa biến độc lập x ...................... 171
4.3.2.4 Phương trình vi phân thuần nhất đối với hàm
cần tìm và các đạo hàm của nó ...................................... 172
4.3.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai .................................... 173
4.3.3.1 Định nghĩa ...................................................................... 173
4.3.3.2 Định lý về cấu trúc nghiệm của phương trình
tuyến tính thuần nhất ...................................................... 173
4.3.3.3 Định lý về cấu trúc nghiệm của phương trình
vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất. ................ 175
4.3.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số
hằng số ....................................................................................... 178
4.3.4.1 Phương trình tuyến tính thuần nhất ................................ 178
4.3.4.2 Phương trình tuyến tính không thuần nhất ..................... 180
4.4. BÀI TẬP CHƯƠNG 4 .................................................................. 186
Tài liệu tham khảo ............................................................................... 195